Loading... *矩阵连乘(java实现)* **一、问题描述与分析** 问题:给定n个矩阵:A1,A2,...,An,其中Ai与Ai+1是可乘的,i=1,2...,n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序,使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模,输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。 分析:由于矩阵乘法满足结合律,故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定,也就是说该连乘积已完全加括号,则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。 完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为: (1)单个矩阵是完全加括号的; (2)矩阵连乘积A是完全加括号的,则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号,即A=(BC) 例如,矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式:(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序,这决定着作乘积所需要的计算量。 **二、程序实现** ```java import java.util.Scanner; public class Matrix { public static int n; public static int[] p; public static int[][] m; public static int[][] s; public static void main(String[] args) { Scanner in = new Scanner(System.in); System.out.println("请输入矩阵的个数:"); n = in.nextInt(); System.out.println("请输入矩阵的行数和列数:"); p = new int[n+1]; for(int i = 0;i <= n;i++) { p[i] = in.nextInt(); } m = new int[n+1][n+1]; s = new int[n+1][n+1]; matrixChain(p,n,m,s); System.out.println("矩阵连乘的最小次数是:" + m[1][n]); System.out.println("矩阵的连乘次序:"); Traceback(1,n,s); } public static void Traceback(int i,int j,int[][] s)//递归构造最优解 { if(i == j) { return ; } Traceback(i,s[i][j],s); Traceback(s[i][j]+1,j,s); System.out.println("Multiply A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j]+1) + "," + j); } public static void matrixChain(int p[],int n,int[][] m,int[][] s) { for(int i = 1;i <= n;i++)//初始化,矩阵长度为1时,从i到i的矩阵连乘子问题只有一个矩阵,操作次数是0 { m[i][i] = 0; } for(int r = 2;r <= n;r++)//矩阵的的长度,从长度2开始逐渐边长。 { for(int i = 1;i <= n-r+1;i++)//从第i个矩阵开始,长度为r,则矩阵为(Ai-A(i+r-1)) { int j = i+r-1; m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j]; s[i][j] = i;//断开点的索引 for(int k = i+1;k < j;k++)//k从i+1循环找m[i][j]的最小值 { int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]; if(t < m[i][j])//找到比原来的断开点更小的值 { m[i][j] = t; s[i][j] = k;//最小值的断开点 } } } } } } ``` **三、实验结果与分析** 实验结果: ![结果][1] 实验分析: 思路: 设计算A[i:j],1≤i≤j≤n,所需要的最少数乘次数m[i,j],则原问题的最优值为m[1,n]。 当i=j时,A[i:j]=Ai,因此,m[i][i]=0,i=1,2,…,n 当i<j时,若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开,i<=k<j,则:m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置,所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此,k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。 递推关系如下:$$m[i,j]=\begin{cases}0,i=j\\\min_{i<k<j}\{m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j\},i<j\end{cases}$$ 若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j],在计算出最优值m[i][j]后,可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明,计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开,即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此,从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n]),进一步递推,A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去,最终就可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式,及构造出问题的一个最优解。 [1]: https://img.xiaowuyike.com/images/2020/07/06/juvflmigjpgo.md.png Last modification:July 6th, 2020 at 06:27 pm © 允许规范转载 Support 如果觉得对你有用,请随意赞赏 ×Close Appreciate the author Sweeping payments Pay by AliPay Pay by WeChat