矩阵连乘（java实现）

wloveyang

July 6, 2020

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学习

*矩阵连乘（java实现）*

**一、问题描述与分析**

问题：给定n个矩阵：A1,A2,...,An，其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。确定计算矩阵连乘积的计算次序，使得依此次序计算矩阵连乘积需要的数乘次数最少。输入数据为矩阵个数和每个矩阵规模，输出结果为计算矩阵连乘积的计算次序和最少数乘次数。

分析：由于矩阵乘法满足结合律，故计算矩阵的连乘积可以有许多不同的计算次序。这种计算次序可以用加括号的方式来确定。若一个矩阵连乘积的计算次序完全确定，也就是说该连乘积已完全加括号，则可以依此次序反复调用2个矩阵相乘的标准算法计算出矩阵连乘积。

完全加括号的矩阵连乘积可递归地定义为：

（1）单个矩阵是完全加括号的；

（2）矩阵连乘积A是完全加括号的，则A可表示为2个完全加括号的矩阵连乘积B和C的乘积并加括号，即A=(BC)

例如，矩阵连乘积A1A2A3A4有5种不同的完全加括号的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一种完全加括号的方式对应于一个矩阵连乘积的计算次序，这决定着作乘积所需要的计算量。

**二、程序实现**

```java
import java.util.Scanner;

public class Matrix {
    public static int n;
    public static int[] p;
    public static int[][] m;
    public static int[][] s;
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入矩阵的个数：");
        n = in.nextInt();
        System.out.println("请输入矩阵的行数和列数:");
        p = new int[n+1];
        for(int i = 0;i <= n;i++)
        {
            p[i] = in.nextInt();
        }
        m = new int[n+1][n+1];
        s = new int[n+1][n+1];
        matrixChain(p,n,m,s);
        System.out.println("矩阵连乘的最小次数是：" + m[1][n]);
        System.out.println("矩阵的连乘次序：");
        Traceback(1,n,s);
    }
    
    public static void Traceback(int i,int j,int[][] s)//递归构造最优解
    {
        if(i == j)
        {
            return ;
        }
        Traceback(i,s[i][j],s);
        Traceback(s[i][j]+1,j,s);
        System.out.println("Multiply A" + i + "," + s[i][j] + "and A" + (s[i][j]+1) + "," + j);
    }

public static void matrixChain(int p[],int n,int[][] m,int[][] s)
    {
        for(int i = 1;i <= n;i++)//初始化,矩阵长度为1时，从i到i的矩阵连乘子问题只有一个矩阵，操作次数是0
        {
            m[i][i] = 0;
        }
        for(int r = 2;r <= n;r++)//矩阵的的长度，从长度2开始逐渐边长。
        {
            for(int i = 1;i <= n-r+1;i++)//从第i个矩阵开始，长度为r，则矩阵为（Ai-A(i+r-1)）
            {
                int j = i+r-1;
                m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];
                s[i][j] = i;//断开点的索引
                for(int k = i+1;k < j;k++)//k从i+1循环找m[i][j]的最小值
                {
                    int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
                    if(t < m[i][j])//找到比原来的断开点更小的值
                    {
                        m[i][j] = t;
                        s[i][j] = k;//最小值的断开点
                    }
                }
            }
        }
    }
}
```

**三、实验结果与分析**

实验结果：
![结果][1]
实验分析：

思路：

设计算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少数乘次数m[i,j]，则原问题的最优值为m[1,n]。

当i=j时，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n

当i<j时，若A[i:j]的最优次序在Ak和Ak+1之间断开，i<=k<j,则：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由于在计算是并不知道断开点k的位置，所以k还未定。不过k的位置只有j-i个可能。因此，k是这j-i个位置使计算量达到最小的那个位置。

递推关系如下：$$m[i,j]=\begin{cases}0,i=j\\\min_{i<k<j}\{m[i,k]+m[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j\},i<j\end{cases}$$

若将对应m[i][j]的断开位置k记为s[i][j]，在计算出最优值m[i][j]后，可递归地由s[i][j]构造出相应的最优解。s[i][j]中的数表明，计算矩阵链A[i:j]的最佳方式应在矩阵Ak和Ak+1之间断开，即最优的加括号方式应为(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，从s[1][n]记录的信息可知计算A[1:n]的最优加括号方式为(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，进一步递推，A[1:s[1][n]]的最优加括号方式为(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以确定A[s[1][n]+1:n]的最优加括号方式在s[s[1][n]+1][n]处断开...照此递推下去，最终就可以确定A[1:n]的最优完全加括号方式，及构造出问题的一个最优解。

[1]: https://img.xiaowuyike.com/images/2020/07/06/juvflmigjpgo.md.png

Last modification：July 6th, 2020 at 06:27 pm

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矩阵连乘（java实现）

wloveyang • 2020 年 07 月 06 日

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